總體集中趨勢的估計教學設計

課題

9.2.3總體集中趨勢的估計

單元

第九單元

學科

數學

年級

高一

教材分析

本節(jié)內容是在根據樣本的數據特征來估計總體的分布情況，本節(jié)內容主要根據平均數、中位數、眾數來估計總體的集中趨勢。

教學目標與核心素養(yǎng)

1.數學抽象：利用樣本的平均數、眾數、中位數將總體分布具體化；

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.

3.數學建模：掌握利用樣本的平均數、眾數、中位數來估計總體的集中趨勢。

4.直觀想象：通過樣本平均數、中位數、眾數直觀估計總體的集中趨勢，從而解決相關的實際問題；

5.數學運算:能夠正確計算平均數、中位數、眾數；

6.數據分析:通過經歷提出問題—推導過程—得出結論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數學知識的邏輯性和嚴密性。

重點

計算平均數、眾數、中位數，并判斷總體的集中趨勢

難點

計算平均數、眾數、中位數，并判斷總體的集中趨勢

教學過程

導入新課

問題導入：

問題一：你還記得平均數、中位數、眾數是什么嗎？這些統(tǒng)計量刻畫了數據的什么特點？

眾數：一組數據中出現次數最多的數

中位數：一組數據按大小順序依次排序后，當數據個數是奇數時，處在最中間的數是中位數；當數據個數是偶數時，最中間兩個數的平均數是中位數。

平均數：

這些統(tǒng)計量刻畫了數據的“中心位置”，即數據的集中趨勢。

那么，本節(jié)課將進一步探究這些統(tǒng)計量之間的區(qū)別與聯(lián)系，并根據樣本的集中趨勢估計總體的集中趨勢。

學生利用問題回顧初中知識點的同時，引出本節(jié)新課內容——平均數、中位數、眾數。

設置問題情境，回顧初中知識點，同時激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生嚴謹的邏輯思維能力，并引出本節(jié)新課。

講授新課

知識探究（一）：平均數、中位數、眾數

思考一：根據下表中100戶居民的月均用水量，計算樣本數據的平均數和中位數，并據此估計全市居民用戶月均用水量的平均數和中位數。

因為數據是抽自全市居民的簡單隨機樣本，所以我們可以據此估計全市居民用戶的月均用水量約為8.79t，中位數約為6.6t。

思考二：假設某個居民小區(qū)有2000戶，你能估計該小區(qū)的月用水總量嗎？

根據上述思考可得：全市居民用戶的月均用水量約為8.79t，則2000戶居民的月用水總量為

20008.79=17580t

思考三：小明用統(tǒng)計軟件計算了100戶居民用水量的平均數和中位數。但在錄入數據時，不小心把一個數據7.7錄成了77.請計算錄入數據的平均數和中位數。

通過簡單計算發(fā)現，平均數由原來的8.79t變?yōu)?.483t，中位數沒有變化，還是6.6t。

思考四：與真實的樣本平均數和中位數作比較，哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？

平均數變化較大。

這是因為樣本平均數與每一個樣本數據有關，樣本中的任何一個數的改變都會引起平均數的改變；但中位數只利用了樣本數據中間位置的一個或兩個值，并未利用其他數據，所以不是任何一個樣本數據的改變都會引起中位數的改變。

因此，與中位數比較，平均數反映出樣本數據中的更多信息，對樣本中的極端值更加敏感。

思考五：平均數和中位數都描述了數據的集中趨勢，它們的大小關系和數據分布的形態(tài)有關。在下圖的三種分布形態(tài)中，平均數和中位數的大小存在什么關系？

一般來說，對一個單峰的頻率分布直方圖來說，如果直方圖的形狀是對稱的（如圖（1）），那么平均數和中位數大體上差不多；

如果直方圖在右邊“拖尾”（如圖（2）），那么平均數大于中位數；

如果直方圖在左邊“拖尾”（如圖（3）），那么平均數小于中位數。也就是說，平均數總是在“長尾巴”那邊。

例5：某學校要定制高一年級的校服，學生根據廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格。根據統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數如下表所示：

如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數、平均數和眾數中，哪個量比較合適？試討論上表數據估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性。

解：為了更直觀地觀察數據的特征，我們用條形圖來表示表中的數據。

可以發(fā)現，選擇校服規(guī)格為“165”的女生頻數最高，所以用眾數165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適。

由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學校的數據估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理。

思考六：從上述思考題和例題中，你能總結出平均數、中位數、眾數各自的特點嗎？

思考七：根據平均數、中位數、眾數各自的特點，我們應如何選擇適合的統(tǒng)計量來表示數據的集中趨勢？

一般地，對數值型數據（如用水量、身高、收入、產量等）集中趨勢的描述，可以用平均數、中位數；

對分類型數據（如校服規(guī)格、性別、產品質量等級等）集中趨勢的描述，可以用眾數。

知識探究（二）：用樣本平均數、中位數、眾數估計總體

思考八：樣本的平均數、中位數和眾數可以分別作為總體的平均數、中位數和眾數的估計，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數據。例如，我們在報紙、網絡上獲得的往往是已經整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖。這時該如何估計樣本的平均數、中位數和眾數？你能以下面的頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計方法嗎？

思考九：根據頻率分布直方圖如何計算樣本平均數？

因為樣本平均數可以表示為數據與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替。

即 每一組的平均數為該組小矩形底邊中點橫坐標。

那么由上圖可得樣本平均數為

思考十：根據頻率分布直方圖如何計算樣本中位數？

根據中位數的意義可得，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等。

由于0.0773=0.231，（0.077+0.107）3=0.552

因此中位數落在區(qū)間[4.2，7.2）內。

設中位數為x，由0.0773+0.107（x-4.2）=0.5，得到x≈6.71

因此，中位數約為6.71。

思考十一：根據頻率分布直方圖觀察，樣本眾數應該在哪個小矩形內？由此估計眾數是多少？

根據眾數定義得，出現次數最多數據是眾數。

如上圖所示，月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點5.7作為眾數的估計值。

思考十二：根據上述計算出的樣本平均數、中位數和眾數，你有什么結論？

上面計算的樣本平均數為8.96，和直接計算出的平均數8.79相差不大；中位數為6.71，與計算出的中位數6.6基本一致；眾數為5.7.

眾數常用在描述分類型數據中，因此，在這個實際問題中，我們根據眾數“5.7”知道月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內的居民用戶最多。

思考十三：以上我們討論了平均數、中位數和眾數在刻畫一組數據的集中趨勢時的各自特點，并研究了用樣本的特征量估計總體特征量的方法。那么，這種方法有什么不足？

這些特征量有時會被利用而產生誤導。

思考十四：假設你到人力市場去找工作，有一個企業(yè)老板告訴你，“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬元“。你如何理解這句話？

這句話是真實的，但它可能描述的是差異巨大的實際情況。例如，可能這個公司的工資水平普遍較高，也就是員工收入的中位數、眾數與平均數差不多；

也可能是絕大多數員工的年收入較低，而少數員工的年收入很高；在這種情況下，年收入的平均數就比中位數大得多。

盡管在后一種情況下，用中位數或眾數比用平均數更合理些，但這個企業(yè)的老板為了招攬員工，卻用了平均數。

所以，我們要強調”用數據說話”,但同時又要防止被誤導。

思考十五：你能總結用樣本的眾數、中位數和平均數來估計總體的數字特征各自的優(yōu)缺點嗎？

課堂鞏固

1、下列( D )準確的反映出總體的情況：

A、中位數 B、平均數 C、眾數

D、平均數、中位數、眾數都有局限性，都不可以

2、若樣本數據12,15,20,x,23,28,30,50的中位數為22 ，則x=( A )

A、21 B、15 C、22 D、35

3、若按從小到大排列的樣本數據-8,-1,4,x,10,13的中位數是7 ，則其眾數是( D )

A、7 B、6 C、4 D、10

4、在一次體育測試中,某班的6名同學的成績(單位:分)分別為66,83,87,83,77,96.關于這組數據,下列說法錯誤的是 (D)

A.眾數是83 B.中位數是83

C.極差是30 D.平均數是83

解析：由于83出現的次數最多,所以眾數是83,故A說法正確;

把數據66,83,87,83,77,96按從小到大排列為66,77,83,83,87,96,中間兩個數為83,83,所以中位數是83,故B說法正確;極差是96-66=30,故C說法正確;

由于平均數為(66+83+87+83+77+96)6=82,故D說法錯誤,故選D.

5、某班全體學生參加物理測試成績的頻率分布直方圖如圖所示,則估計該班物理測試的平均成績是(C)

A.70分 B.75分 C.68分 D.66分

解析：平均成績就是頻率分布直方圖中

每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標再求和,即

0.0052030+0.0102050+0.0202070+0.0152090=68(分).

故選C

6、已知一組數據：125、121、123、125、127、129、125、128、130、129、124、125、127、126、122、124、125、126、128、127。

（1）填寫下列的頻率分布表；

（2）做出頻率分布直方圖；

（3）根據直方圖求其眾數、中位數和平均數。

（3）由頻率分布直方圖得：

眾數：125中位數：126平均數：126.1

7、某公司為了了解一年內的用水情況,抽取了10天的用水量如表所示:

(1)在這10天中,該公司用水量的平均數是多少?每天用水量的中位數是多少?

(2)你認為應該用平均數和中位數中的哪一個來估計該公司每天的用水量?

解：（1）在這10天中，該公司用水量的平均數是每天用水量的中位數是

（2）平均數受數據中的極端值（2個95）影響較大，使平均數在估計總體時可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下。

故用中位數來估計每天的用水量更合適。

學生根據上述問題，探究平均數、中位數、眾數的各自特點。

學生分組合作思考相關的問題，探究得出平均數、中位數、眾數各自的特點及優(yōu)缺點。

利用樣本的平均數、中位數、眾數估計總體的集中趨勢。

學生和教師共同探究完成7個課堂鞏固題。

利用問題情境探究得出平均數、中位數、眾數的各自特點,培養(yǎng)學生探索的精神.

通過分組合作交流，培養(yǎng)學生合作的精神和探索的能力。

回到統(tǒng)計的最初目的——估計總體，培養(yǎng)學生有始有終的做事原則。

通過這7個題，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數學的探索精神。