總體集中趨勢的估計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)

課題

9.2.3總體集中趨勢的估計(jì)

單元

第九單元

學(xué)科

數(shù)學(xué)

年級(jí)

高一

教材分析

本節(jié)內(nèi)容是在根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)特征來估計(jì)總體的分布情況，本節(jié)內(nèi)容主要根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)來估計(jì)總體的集中趨勢。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：利用樣本的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)將總體分布具體化；

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

3.數(shù)學(xué)建模：掌握利用樣本的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)來估計(jì)總體的集中趨勢。

4.直觀想象：通過樣本平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)直觀估計(jì)總體的集中趨勢，從而解決相關(guān)的實(shí)際問題；

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；

6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導(dǎo)過程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點(diǎn)

計(jì)算平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，并判斷總體的集中趨勢

難點(diǎn)

計(jì)算平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，并判斷總體的集中趨勢

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

問題導(dǎo)入：

問題一：你還記得平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是什么嗎？這些統(tǒng)計(jì)量刻畫了數(shù)據(jù)的什么特點(diǎn)？

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)

中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排序后，當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，處在最中間的數(shù)是中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)。

平均數(shù)：

這些統(tǒng)計(jì)量刻畫了數(shù)據(jù)的“中心位置”，即數(shù)據(jù)的集中趨勢。

那么，本節(jié)課將進(jìn)一步探究這些統(tǒng)計(jì)量之間的區(qū)別與聯(lián)系，并根據(jù)樣本的集中趨勢估計(jì)總體的集中趨勢。

學(xué)生利用問題回顧初中知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，引出本節(jié)新課內(nèi)容——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。

設(shè)置問題情境，回顧初中知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，并引出本節(jié)新課。

講授新課

知識(shí)探究（一）：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

思考一：根據(jù)下表中100戶居民的月均用水量，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù)。

因?yàn)閿?shù)據(jù)是抽自全市居民的簡單隨機(jī)樣本，所以我們可以據(jù)此估計(jì)全市居民用戶的月均用水量約為8.79t，中位數(shù)約為6.6t。

思考二：假設(shè)某個(gè)居民小區(qū)有2000戶，你能估計(jì)該小區(qū)的月用水總量嗎？

根據(jù)上述思考可得：全市居民用戶的月均用水量約為8.79t，則2000戶居民的月用水總量為

20008.79=17580t

思考三：小明用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)。但在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請(qǐng)計(jì)算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)。

通過簡單計(jì)算發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)由原來的8.79t變?yōu)?.483t，中位數(shù)沒有變化，還是6.6t。

思考四：與真實(shí)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較，哪個(gè)量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？

平均數(shù)變化較大。

這是因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中的任何一個(gè)數(shù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起中位數(shù)的改變。

因此，與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感。

思考五：平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)。在下圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？

一般來說，對(duì)一個(gè)單峰的頻率分布直方圖來說，如果直方圖的形狀是對(duì)稱的（如圖（1）），那么平均數(shù)和中位數(shù)大體上差不多；

如果直方圖在右邊“拖尾”（如圖（2）），那么平均數(shù)大于中位數(shù)；

如果直方圖在左邊“拖尾”（如圖（3）），那么平均數(shù)小于中位數(shù)。也就是說，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊。

例5：某學(xué)校要定制高一年級(jí)的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格。根據(jù)統(tǒng)計(jì)，高一年級(jí)女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示：

如果用一個(gè)量來代表該校高一年級(jí)女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個(gè)量比較合適？試討論上表數(shù)據(jù)估計(jì)全國高一年級(jí)女生校服規(guī)格的合理性。

解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)。

可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級(jí)女生校服的規(guī)格比較合適。

由于全國各地的高一年級(jí)女生的身高存在一定的差異，所以用一個(gè)學(xué)校的數(shù)據(jù)估計(jì)全國高一年級(jí)女生的校服規(guī)格不合理。

思考六：從上述思考題和例題中，你能總結(jié)出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自的特點(diǎn)嗎？

思考七：根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自的特點(diǎn)，我們應(yīng)如何選擇適合的統(tǒng)計(jì)量來表示數(shù)據(jù)的集中趨勢？

一般地，對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；

對(duì)分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等）集中趨勢的描述，可以用眾數(shù)。

知識(shí)探究（二）：用樣本平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)估計(jì)總體

思考八：樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)。例如，我們?cè)趫?bào)紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖。這時(shí)該如何估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？你能以下面的頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計(jì)方法嗎？

思考九：根據(jù)頻率分布直方圖如何計(jì)算樣本平均數(shù)？

因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替。

即 每一組的平均數(shù)為該組小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)。

那么由上圖可得樣本平均數(shù)為

思考十：根據(jù)頻率分布直方圖如何計(jì)算樣本中位數(shù)？

根據(jù)中位數(shù)的意義可得，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等。

由于0.0773=0.231，（0.077+0.107）3=0.552

因此中位數(shù)落在區(qū)間[4.2，7.2）內(nèi)。

設(shè)中位數(shù)為x，由0.0773+0.107（x-4.2）=0.5，得到x≈6.71

因此，中位數(shù)約為6.71。

思考十一：根據(jù)頻率分布直方圖觀察，樣本眾數(shù)應(yīng)該在哪個(gè)小矩形內(nèi)？由此估計(jì)眾數(shù)是多少？

根據(jù)眾數(shù)定義得，出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)據(jù)是眾數(shù)。

如上圖所示，月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)的居民最多，可以將這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)5.7作為眾數(shù)的估計(jì)值。

思考十二：根據(jù)上述計(jì)算出的樣本平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，你有什么結(jié)論？

上面計(jì)算的樣本平均數(shù)為8.96，和直接計(jì)算出的平均數(shù)8.79相差不大；中位數(shù)為6.71，與計(jì)算出的中位數(shù)6.6基本一致；眾數(shù)為5.7.

眾數(shù)常用在描述分類型數(shù)據(jù)中，因此，在這個(gè)實(shí)際問題中，我們根據(jù)眾數(shù)“5.7”知道月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)的居民用戶最多。

思考十三：以上我們討論了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)在刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢時(shí)的各自特點(diǎn)，并研究了用樣本的特征量估計(jì)總體特征量的方法。那么，這種方法有什么不足？

這些特征量有時(shí)會(huì)被利用而產(chǎn)生誤導(dǎo)。

思考十四：假設(shè)你到人力市場去找工作，有一個(gè)企業(yè)老板告訴你，“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬元“。你如何理解這句話？

這句話是真實(shí)的，但它可能描述的是差異巨大的實(shí)際情況。例如，可能這個(gè)公司的工資水平普遍較高，也就是員工收入的中位數(shù)、眾數(shù)與平均數(shù)差不多；

也可能是絕大多數(shù)員工的年收入較低，而少數(shù)員工的年收入很高；在這種情況下，年收入的平均數(shù)就比中位數(shù)大得多。

盡管在后一種情況下，用中位數(shù)或眾數(shù)比用平均數(shù)更合理些，但這個(gè)企業(yè)的老板為了招攬員工，卻用了平均數(shù)。

所以，我們要強(qiáng)調(diào)”用數(shù)據(jù)說話”,但同時(shí)又要防止被誤導(dǎo)。

思考十五：你能總結(jié)用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)來估計(jì)總體的數(shù)字特征各自的優(yōu)缺點(diǎn)嗎？

課堂鞏固

1、下列( D )準(zhǔn)確的反映出總體的情況：

A、中位數(shù) B、平均數(shù) C、眾數(shù)

D、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不可以

2、若樣本數(shù)據(jù)12,15,20,x,23,28,30,50的中位數(shù)為22 ，則x=( A )

A、21 B、15 C、22 D、35

3、若按從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)-8,-1,4,x,10,13的中位數(shù)是7 ，則其眾數(shù)是( D )

A、7 B、6 C、4 D、10

4、在一次體育測試中,某班的6名同學(xué)的成績(單位:分)分別為66,83,87,83,77,96.關(guān)于這組數(shù)據(jù),下列說法錯(cuò)誤的是 (D)

A.眾數(shù)是83 B.中位數(shù)是83

C.極差是30 D.平均數(shù)是83

解析：由于83出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以眾數(shù)是83,故A說法正確;

把數(shù)據(jù)66,83,87,83,77,96按從小到大排列為66,77,83,83,87,96,中間兩個(gè)數(shù)為83,83,所以中位數(shù)是83,故B說法正確;極差是96-66=30,故C說法正確;

由于平均數(shù)為(66+83+87+83+77+96)6=82,故D說法錯(cuò)誤,故選D.

5、某班全體學(xué)生參加物理測試成績的頻率分布直方圖如圖所示,則估計(jì)該班物理測試的平均成績是(C)

A.70分 B.75分 C.68分 D.66分

解析：平均成績就是頻率分布直方圖中

每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)再求和,即

0.0052030+0.0102050+0.0202070+0.0152090=68(分).

故選C

6、已知一組數(shù)據(jù)：125、121、123、125、127、129、125、128、130、129、124、125、127、126、122、124、125、126、128、127。

（1）填寫下列的頻率分布表；

（2）做出頻率分布直方圖；

（3）根據(jù)直方圖求其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)。

（3）由頻率分布直方圖得：

眾數(shù)：125中位數(shù)：126平均數(shù)：126.1

7、某公司為了了解一年內(nèi)的用水情況,抽取了10天的用水量如表所示:

(1)在這10天中,該公司用水量的平均數(shù)是多少?每天用水量的中位數(shù)是多少?

(2)你認(rèn)為應(yīng)該用平均數(shù)和中位數(shù)中的哪一個(gè)來估計(jì)該公司每天的用水量?

解：（1）在這10天中，該公司用水量的平均數(shù)是每天用水量的中位數(shù)是

（2）平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值（2個(gè)95）影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下。

故用中位數(shù)來估計(jì)每天的用水量更合適。

學(xué)生根據(jù)上述問題，探究平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的各自特點(diǎn)。

學(xué)生分組合作思考相關(guān)的問題，探究得出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自的特點(diǎn)及優(yōu)缺點(diǎn)。

利用樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)估計(jì)總體的集中趨勢。

學(xué)生和教師共同探究完成7個(gè)課堂鞏固題。

利用問題情境探究得出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的各自特點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生探索的精神.

通過分組合作交流，培養(yǎng)學(xué)生合作的精神和探索的能力。

回到統(tǒng)計(jì)的最初目的——估計(jì)總體，培養(yǎng)學(xué)生有始有終的做事原則。

通過這7個(gè)題，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)數(shù)學(xué)的探索精神。