平面教學(xué)設(shè)計(jì)

課題

平面

單元

第八單元

學(xué)科

數(shù)學(xué)

年級(jí)

高二

教材分 析

本節(jié)內(nèi)容是空間、點(diǎn)、直線平面之間位置關(guān)系的第一課時(shí)，由生活中實(shí)際物體引出平面概念，進(jìn)而引出本節(jié)要學(xué)的內(nèi)容。

教 學(xué)

目標(biāo)與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：通過將實(shí)際物體抽象成平面。

2.邏輯推理：通過例題和練習(xí)逐步培養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)用實(shí)際的。

3.數(shù)學(xué)建模：本節(jié)重點(diǎn)是數(shù)學(xué)中的形在講解時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生立體感及邏輯推理能力，有利于數(shù)學(xué)建模中推理能力。

4.空間想象：本節(jié)重點(diǎn)是考查學(xué)生空間想象能力。

重點(diǎn)

平面概念、三個(gè)公理、三個(gè)推論

難點(diǎn)

公理及推論的應(yīng)用

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

生活中有哪些事物給我們以平面的形象？

學(xué)生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。

把已學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活建立聯(lián)系，并引出本節(jié)新課內(nèi)容。

講授新課

1. 平面概念

平靜的海面

平整的紙張

桌面、黑板面

2.幾何特征

無限延展（沒有邊界）

不計(jì)大?。o所謂面積）

不計(jì)厚薄（沒有質(zhì)量）

練習(xí)一

判斷下列各題的說法正確與否：

1、一個(gè)平面長(zhǎng) 4 米，寬 2 米； ( )

2、平面有邊界； ( )

3、一個(gè)平面的面積是 25cm； ( )

4、菱形的面積是 4 cm； ( )

5、一個(gè)平面可以把空間分成兩部分. ( )

3. 平面的畫法：

(1)水平放置的平面：

(2) 垂直放置的平面：

通常把表示平面的平行四邊形的銳角畫成45。我們常用希臘文字α、β、γ等表示平面。

如平面α，平面β等。并將它們寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角內(nèi)；也可以用代表

平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示。如圖1也可以

表示為平面ABCD，平面AC或平面BD。

4.

思考1：

我們知道，兩點(diǎn)可以確定一條直線，那么幾點(diǎn)可以確定一個(gè)平面？

基本事實(shí)一：

過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面（確定平面依據(jù)）

直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)。直線、平面都可以看成點(diǎn)的集合。點(diǎn)A在直線l上，記作A∈l；點(diǎn)B在直線l外，記作B?l;點(diǎn)A在平面α內(nèi)，記作A∈α，點(diǎn)P在平面α外，記作P?α。

5.練習(xí)二：

把下列語句用集合符號(hào)表示，并畫出直觀圖.

(1) 點(diǎn)A在平面?內(nèi)，點(diǎn)B不在平面?內(nèi)，點(diǎn)A，B都在直線a上；

6.思考二：如果直線l與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線l是否在平面α內(nèi)？如果直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？

在實(shí)際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：如果一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)在桌面上，那么直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上。而一個(gè)點(diǎn)是不可以確定的。

基本事實(shí)2：

如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線就在這個(gè)平面內(nèi)（判斷直線是否在平面內(nèi)）

平面內(nèi)有無數(shù)條直線，平面可以看成是直線的集合，如果直線l上所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，記作；否則，就說直線l不在平面α內(nèi)，記作 .

基本事實(shí)二也可以用符號(hào)表示為

A∈l,B∈l,且A∈α，B∈α則

練習(xí)三：

把下列語句用集合符號(hào)表示，并畫出直觀圖.平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)且平行于直線m.

7.思考三：

把三角尺的一個(gè)角立在課桌面上面，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交與一點(diǎn)B?為什么？

想象三角尺所在的無限延展的平面，用它去穿越課桌面?？梢韵胂螅瑑蓚€(gè)平面相交于一條直線。教室里相鄰的墻面處有一個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)墻面相交于過這個(gè)點(diǎn)的一條直線，由此我們得到又一個(gè)基本事實(shí)。

基本事實(shí)三：

如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

基本事實(shí)三用符號(hào)表示

P∈α。且P∈β則α∩β=l,且P∈l

補(bǔ)充：

在畫兩個(gè)平面相交時(shí)，如果其中一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面擋住，通常把被擋住的部分畫成虛線或不畫，這樣可使畫出的圖形立體感更強(qiáng)一些，如圖。

8.練習(xí)四

下列命題正確的是（ ）

A.經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面

C.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面

D.四邊形確定一個(gè)平面

9.利用基本事實(shí)一和二再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”可得到下面三個(gè)推論。

推輪一：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

推論二：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。

推論三：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。

三個(gè)推論用來確定一個(gè)平面

推論一證明:

如圖，設(shè)點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，在直線a上任取兩點(diǎn)B、C，則由基本事實(shí)一，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)確定一個(gè)平面α，再由基本事實(shí)二。直線l也在平面α內(nèi)，因此平面α經(jīng)過直線l和點(diǎn)A。即一條直線和這條直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。

10. 線共面問題

已知直線b∥c，且直線a與b，c都相交，求證：直線a，b，c共面．

證明∵b∥c，∴不妨設(shè)b，c共面于平面α，設(shè)a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c，又b?α，∴A∈α，同理B∈α，即a?α，∴三線共面．

11. 點(diǎn)共線問題：

如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面α內(nèi)，它的三邊AB，BC，AC延長(zhǎng)后分別交平面α于點(diǎn)P，Q，R.

求證：P，Q，R三點(diǎn)在同一條直線上．

證明：由已知AB的延長(zhǎng)線交平面α于點(diǎn)P，根據(jù)基本事實(shí)3，平面ABC與平面α必相交于一條直線，設(shè)為l.

∵P∈直線AB，∴P∈平面ABC.又AB∩α＝P，∴P∈平面α，

∴P是平面ABC與平面α的公共點(diǎn)．

∵平面ABC∩α＝l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.

∴P，Q，R三點(diǎn)在同一條直線l上．

點(diǎn)共線問題就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上，主要依據(jù)是基本事實(shí)3.此類問題的證明常用以下兩種方法：

(1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3知這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上；

(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在這條直線上．

12.線共點(diǎn)問題：

如圖，在三棱柱中，1，1.求證：直線，，相交于一點(diǎn)．

證明：如圖，連接PQ.由，，得，且.又，∴PQ//BC，且，∴四邊形BCQP為梯形，∴直線BP，CQ相交，設(shè)交點(diǎn)為R，則R∈BP，R∈CQ.

13證明三線共點(diǎn)的思路：先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)，把問題歸結(jié)為證明點(diǎn)在直線上的問題．

14.一、判斷下列命題是否正確。

(!)書桌面是平面

(2)平面α與平面β相交，他們只有有限個(gè)公共點(diǎn)

(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合

二、下列命題正確的是( )

A 三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B 一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面

C 圓心和圓上的兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面

D 梯形可確定一個(gè)平面

三、如圖，AB//CD，AB∩α=B，CD∩α=D，AC∩α=A。

求證：B、E、D三點(diǎn)共線

給出平面概念，并總結(jié)其特征

學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)一

小組討論思考一并給出相應(yīng)結(jié)論

獨(dú)立完成練習(xí)二

學(xué)生小組討論思考二問題

學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)四

學(xué)生獨(dú)立思考線面問題

限時(shí)訓(xùn)練

段煉學(xué)生總結(jié)能力

加深學(xué)生對(duì)平面的概念理解

段煉學(xué)生總結(jié)能力及團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力

檢查學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的理解及記憶

段煉學(xué)生思考能力

對(duì)于新知掌握情況進(jìn)行檢查

段煉學(xué)生獨(dú)立解決問題能

通過練習(xí)逐步培養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)用實(shí)際的。