垂線教案

1．理解并掌握垂線的概念及性質，了解點到直線的距離；

2．能夠運用垂線的概念及性質進行運算并解決實際問題．(重點，難點)

一、情境導入

如圖是教室的一幅圖片，黑板相鄰兩邊的夾角等于多少度？這樣的兩條邊所在的直線有什么位置關系？

二、合作探究

探究點一：垂線

【類型一】運用垂線的概念求角度

如圖，直線BC與MN相交于點O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20，求∠AOM和∠NOC的度數．

解析：要求∠AOM的度數，可先求它的余角∠COM.由已知∠EON＝20，結合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON.再根據“對頂角相等”即可求得∠COM的度數；要求∠NOC的度數，根據鄰補角的定義即可．

解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝220＝40，∴∠NOC＝180－∠BON＝180－40＝140，∠MOC＝∠BON＝40.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90－40＝50，∴∠NOC＝140，∠AOM＝50.

方法總結：(1)由兩條直線互相垂直可以得出這兩條直線相交所成的四個角中，每一個角都等于90；(2)在相交線中求角度，一般要利用垂直、對頂角相等、余角、補角等知識．

【類型二】運用垂線的概念判定兩直線垂直

如圖所示，已知OA⊥OC于點O，∠AOB＝∠COD.試判斷OB和OD的位置關系，并說明理由．

解析：由于OA⊥OC，根據垂直的定義，可知∠AOC＝90，即∠AOB＋∠BOC＝90.又∠AOB＝∠COD，則∠COD＋∠BOC＝90，即∠BOD＝90.再根據垂直的定義，得出OB⊥OD.

解：OB⊥OD.理由如下：因為OA⊥OC，所以∠AOC＝90，即∠AOB＋∠BOC＝90.因為∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90，所以∠BOD＝90，所以OB⊥OD.

方法總結：由垂直這一條件可得兩條直線相交構成的四個角為直角，反過來，由兩條直線相交構成的角為直角，可得這兩條直線互相垂直．判斷兩條直線垂直最基本的方法就是說明這兩條直線的夾角等于90.

探究點二：垂線的性質(垂線段最短)

如圖所示，修一條路將A，B兩村莊與公路MN連起來，怎樣修才能使所修的公路最短？畫出線路圖，并說明理由．

解析：連接AB，過點B作BC⊥MN即可．

解：連接AB，作BC⊥MN，C是垂足，線段AB和BC就是符合題意的線路圖．因為從A到B，線段AB最短，從B到MN，垂線段BC最短，所以AB＋BC最短．

方法總結：與垂線段有關的作圖，一般是過一點作已知直線的垂線，作圖的依據是“垂線段最短”．

探究點三：點到直線的距離

如圖，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.

(1)試說出點A到直線BC的距離；點B到直線AC的距離；

(2)點C到直線AB的距離是多少？

解析：(1)點A到直線BC的距離就是線段AC的長；點B到直線AC的距離就是線段BC的長；(2)過點C作CD⊥AB，垂足為D.點C到直線AB的距離就是線段CD的長，可利用面積求得．