利用二次函數(shù)求方程的近似根教案

1．會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根；(重點(diǎn))

2．進(jìn)一步體會(huì)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．(難點(diǎn)

一、情境導(dǎo)入

你能根據(jù)函數(shù)y＝x2＋2x－5的圖象(如圖)，求出方程x2＋ 2x－5＝0的近似根嗎(精確到0.1)?

由圖象知，拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們分別位于x軸上1和2、－4和－3之間，所以一元二次方程x2＋ 2x－5＝0有兩個(gè)根，它們分別介于1和2、－4和－3之間．這兩個(gè)根分別是1.5和－3.5嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：利用二次函數(shù)求方程的近似根

【類(lèi)型一】利用二次函數(shù)估算一元二次方程的近似根

利用二次函數(shù)的圖象估計(jì)一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精確到0.1)．

解析：根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的方程的解．

解：方程x2－2x－1＝0根是函數(shù)y＝x2－2x－1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

作出二次函數(shù)y＝x2－2x－1的圖象，如圖所示，由圖象可知方程有兩個(gè)根，一個(gè)在－1和0之間，另一個(gè)在2和3之間．先求－1和0之間的根，當(dāng)x＝－0.4時(shí)，y＝－0.04；當(dāng)x＝－0.5時(shí)，y＝0.25.因此，x＝－0.4(或x＝－0.5)是方程的一個(gè)近似根．同理，x＝2.4(或x＝2.5)是方程的另一個(gè)近似根．

方法總結(jié)：解答此題的關(guān)鍵是求出對(duì)稱(chēng)軸，然后由圖象解答，鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法．

【類(lèi)型二】列表求一元二次方程的近似根

下面表格列出了函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)部分x與y的對(duì)應(yīng)值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根x的取值范圍是()

6.17

6.18

6.19

6．20

－0.03

－0.01

0.02

0.04

A.6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18

C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20

解析：由表格中的數(shù)據(jù)得，在6.17＜x＜6.20范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＝6.18時(shí)，y＝－0.01，當(dāng)x＝6.19時(shí)，y＝0.02，方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根x的取值范圍是6.18＜x＜6.19，故選C.

方法總結(jié)：利用拋物線的增減來(lái)確定拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)的可能位置．

變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第1題

【類(lèi)型三】利用圖象求一元二次方程的近似根

已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根為()

A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5

C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1

解析：由圖象可得二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1，而對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)圖象與x軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離約為0.5，∴x2≈0.5；又∵對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1，則＝－1，∴x1＝2(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故選B.

方法總結(jié)：解答本題首先需要根據(jù)圖象估計(jì)出一個(gè)根，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性計(jì)算出另一個(gè)根，估計(jì)值的精確程度，直接關(guān)系到計(jì)算的準(zhǔn)確性，故估計(jì)盡量要準(zhǔn)確．

變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題

【類(lèi)型四】利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象求方程的根

已知二次函數(shù)y＝2x2－2和函數(shù)y＝5x＋1.

(1)你能用圖象法求出方程2x2－2＝5x＋1的解嗎？

(2)請(qǐng)通過(guò)解方程的方法驗(yàn)證(1)問(wèn)的解．

解析：(1)根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是相應(yīng)方程的解，可得答案；(2)根據(jù)因式分解，可得方程的解．

解：(1)如圖在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y＝2x2－2和函數(shù)y＝5x＋1的圖象，如圖所示：

圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，3，故2x2－2＝5x＋1的解是x1＝－，x2＝3；

(2)由(1)可知交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為方程2x2－2＝5x＋1的解，化簡(jiǎn)得2x2－5x－3＝0，因式分解，得(2x＋1)(x－3)＝0.解得x1＝－，x2＝3，可知(1)中求得的解正確．

方法總結(jié)：利用圖象法求一元二次方程的近似根，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的解．

變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題

【類(lèi)型五】二次函數(shù)與其他函數(shù)的綜合

利用圖象解一元二次方程x2＋x－3＝0時(shí)，我們采用的一種方法是：在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線y＝x2和直線y＝－x＋3，兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解．

(1)填空：利用圖象解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以這樣求解：在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線y＝________和直線y＝－x，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解；

(2)已知函數(shù)y＝－的圖象(如圖所示)，利用圖象求方程－x＋3＝0的近似根(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)．

解析：(1)一元二次方程x2＋x－3＝0可以轉(zhuǎn)化為x2－3＝－x，所以一元二次方程x2＋x－3＝0的解可以看成拋物線y＝x2－3與直線y＝－x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)函數(shù)y＝－的圖象與直線y＝－x＋3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程－x＋3＝0的近似根．