函數(shù)的表示法教學設計（2）

課本從引進函數(shù)概念開始就比較注重函數(shù)的不同表示方法：解析法，圖象法，列表法．函數(shù)的不同表示方法能豐富對函數(shù)的認識，幫助理解抽象的函數(shù)概念．特別是在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使函數(shù)在形與數(shù)兩方面的結(jié)合得到更充分的表現(xiàn)，使學生通過函數(shù)的學習更好地體會數(shù)形結(jié)合這種重要的數(shù)學思想方法．因此，在研究函數(shù)時，要充分發(fā)揮圖象的直觀作用．在研究圖象時，又要注意代數(shù)刻畫以求思考和表述的精確性．課本將映射作為函數(shù)的一種推廣，這與傳統(tǒng)的處理方式有了邏輯順序上的變化．這樣處理，主要是想較好地銜接初中的學習，讓學生將更多的精力集中理解函數(shù)的概念，同時，也體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程．

課程目標

1、明確函數(shù)的三種表示方法；

2、在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；

3、通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.

數(shù)學學科素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：函數(shù)解析法及能由條件求出解析式；

2.邏輯推理：由條件求函數(shù)解析式；

3.數(shù)學運算：由函數(shù)解析式求值及函數(shù)解析式的計算；

4.數(shù)據(jù)分析：利用圖像表示函數(shù)；

5.數(shù)學建模：由實際問題構(gòu)建合理的函數(shù)模型。

重點：函數(shù)的三種表示方法，分段函數(shù)的概念.

難點：根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，什么才算“恰當”？分段函數(shù)的表示及其圖象．

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

初中已經(jīng)學過函數(shù)的三種表示法：列表法、圖像法、解析法，那么這三種表示法定義是？優(yōu)缺點是？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、 預習課本，引入新課

閱讀課本67-68頁，思考并完成以下問題

1.表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法有幾種？分別是什么？

2.函數(shù)的各種表示法各有什么特點？

3.什么是分段函數(shù)？分段函數(shù)是一個還是幾個函數(shù)？

4.怎樣求分段函數(shù)的值？如何畫分段函數(shù)的圖象？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、 新知探究

1．函數(shù)的表示法

2.分段函數(shù)

(1)分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關(guān)系的函數(shù)．

(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．

[點睛] (1)分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)．

(2)分段函數(shù)的“段”可以是等長的，也可以是不等長的．如y＝其“段”是不等長的．

四、典例分析、舉一反三

題型一 函數(shù)的定義

例1某種筆記本的單價是5元，買x (x∈{1，2， 3，4，5})個筆記本需要y元．試用三種表示法表示函數(shù)y=f(x) ．

【答案】見解析

【解析】這個函數(shù)的定義域是數(shù)集{1，2， 3，4，5}.

用解析法可將函數(shù)y=f（x）表示為 y=5x, x∈{1，2， 3，4，5}

用列表法可將函數(shù)y=f(x)表示為

用圖像法可將函數(shù)y=f(x)表示為

解題技巧：（表示函數(shù)的注意事項）

1. 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；

2. 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；

3 .圖象法：是否連線；

4. 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征．

跟蹤訓練一

1．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出．

則f ( g(1))的值為________；當g ( f (x))＝2時，x＝________.

【答案】1 1

【解析】由于函數(shù)關(guān)系是用表格形式給出的，知g (1)＝3，∴f ( g(1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x)＝2，∴x＝1.

題型二 分段函數(shù)求值

例2 已知函數(shù)f(x)＝

(1)求f 的值；

(2)若f(x)＝ ，求x的值

【答案】(1) (2)

【解析】(1)因為f ＝－2＝－，

所以f ＝f ＝＝.

(2)f(x)＝，若|x|≤1，則|x－1|－2＝，得x＝或x＝－.

因為|x|≤1，所以x的值不存在；

若|x|>1，則＝，得x＝，符合|x|＞1.

所以若f(x)＝，x的值為.

解題技巧：(分段函數(shù)求值問題)

1.求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法

（1）確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

（2）代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當出現(xiàn) 的形式時，應從內(nèi)到外依次求值.

2.求某條件下自變量的值的方法先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應求出自變量的值，切記代入檢驗.

跟蹤訓練二

1.

【答案】－或10

【解析】解析：當x0≤2時，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，

∴x0＝－或x0＝(舍去)；

當x0>2時，f(x0)＝x0，∴x0＝10.

綜上可知，x0＝－或x0＝10.

題型三 求函數(shù)解析式

例3 (1)已知f(x+1)=-3x+2,求f(x);

(2)已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;

(3)已知函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).

【答案】見解析

【解析】(1)(方法一)令x+1=t,則x=t-1.

將x=t-1代入f(x+1)=-3x+2,

得f(t)=-3(t-1)+2=-5t+6,∴f(x)=-5x+6.

(方法二)∵f(x+1)= -3x+2=+2x+1-5x-5+6=-5(x+1)+6,∴f(x)=-5x+6.

(2)設所求的二次函數(shù)為f(x)=a+bx+c(a≠0).

∵f(0)=1,∴c=1,則f(x)=a+bx+1.

∵f(x+1)-f(x)=2x對任意的x∈R都成立,

∴a+b(x+1)+1-(a+bx+1)=2x,

即2ax+a+b=2x,由恒等式的性質(zhì),得

∴∴所求二次函數(shù)為f(x)=x2-x+1.

(3)∵對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,

∴將x替換為-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,聯(lián)立方程組消去f(-x),可得f(x)=-3x- .

解題技巧：（求函數(shù)解析式的四種常用方法）

1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接將g(x)代入即可.

2.待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型,可用待定系數(shù)法求解,即由函數(shù)類型設出函數(shù)解析式,再根據(jù)條件列方程(或方程組),通過解方程(組)求出待定系數(shù),進而求出函數(shù)解析式.

3.換元法(有時可用“配湊法”):已知函數(shù)f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),從而求出f(x).

4.解方程組法或消元法:在已知式子中,含有關(guān)于兩個不同變量的函數(shù),而這兩個變量有著某種關(guān)系,這時就要依據(jù)兩個變量的關(guān)系,建立一個新的關(guān)于兩個變量的式子,由兩個式子建立方程組,通過解方程組消去一個變量,得到目標變量的解析式,這種方法叫做解方程組法或消元法.

跟蹤訓練三

1.已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;

2.已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式;

3.設函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f=x(x≠0),求f(x).

【答案】見解析

【解析】(1)∵f(x)為一次函數(shù),∴可設f(x)=ax+b(a≠0).

∵f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1.

∴解得

故f(x)=x+1-或f(x)=-x+1+.

(2)(方法一)f(+1)=()2+2+1-1=(+1)2-1,其中+1≥1,

故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x2-1,其中x≥1.

(方法二)令+1=t,則x=(t-1)2,且t≥1,

函數(shù)f(+1)=x+2可化為f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x2-1,其中x≥1.

(3)因為對任意的x∈R,且x≠0都有f(x)+2f=x成立,

所以對于∈R,且≠0,有f+2f(x)=,

兩式組成方程組

②2-①得,f(x)=.

題型四 函數(shù)的圖像及應用

例4 1.函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是( )

2.給定函數(shù),

(1)在同一直角坐標系中畫出函數(shù)的圖像；

（2）

.請分別用圖像法和解析法表示函數(shù).

【答案】1.B 2.見解析

【解析】1.法一：函數(shù)的解析式可化為y＝畫出此分段函數(shù)的圖象，故選B.

法二：由f(－1)＝2，知圖象過點(－1,2)，排除A、C、D，故選B.

2.（1）同一直角坐標系中函數(shù)的圖像

（2）結(jié)合的定義，可得函數(shù)的圖像

由解得.

由圖易知的解析式為

=

解題方法（函數(shù)圖像問題處理措施）

（1）若y=f（x）是已學過的基本初等函數(shù)，則描出圖象上的幾個關(guān)鍵點，直接畫出圖象即可，有些可能需要根據(jù)定義域進行取舍.

（2）若y=f（x）不是所學過的基本初等函數(shù)之一，則要按：①列表；②描點；③連線三個基本步驟作出y=f（x）的圖象.

（3）作分段函數(shù)的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.

跟蹤訓練四

1．已知函數(shù)f(x)的圖象如右圖所示，則f(x)的解析式是________．

2．若定義運算a⊙b＝則函數(shù)f(x)＝x⊙(2－x)的值域為________．

【答案】1.f(x)＝2. (－∞，1]

【解析】1.由圖可知，圖象是由兩條線段組成，當－1≤x＜0時，設f(x)＝ax＋b，將(－1,0)，(0,1)代入解析式，則∴

當0≤x≤1時，設f(x)＝kx，將(1，－1)代入，則k＝－1.

2.由題意得f(x)＝畫出函數(shù)f(x)的圖象得值域是(－∞，1]．