直角三角形的性質(zhì)與判定教案

1．復(fù)習(xí)直角三角形的相關(guān)知識(shí)，歸納并掌握直角三角形的性質(zhì)和判定；

2．學(xué)習(xí)并掌握勾股定理及其逆定理，能夠運(yùn)用其解決問(wèn)題．(重點(diǎn)，難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

古埃及人曾經(jīng)用下面的方法畫(huà)直角：將一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后按如圖所示的方法用樁釘釘成一個(gè)三角形，他們認(rèn)為其中一個(gè)角便是直角．你知道這是什么道理嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：直角三角形的性質(zhì)與判定

【類(lèi)型一】判定三角形是否為直角三角形

具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是()

A．∠A＋∠B＝∠C

B．∠A－∠B＝∠C

C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3

D．∠A＝∠B＝3∠C

解析：由直角三角形內(nèi)角和為180求得三角形的每一個(gè)角的度數(shù)，再判斷其形狀．A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180，∠C＝90，為直角三角形，同理，B，C中均為直角三角形，D選項(xiàng)中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180，三個(gè)角沒(méi)有90角，故不是直角三角形．故選D.

方法總結(jié)：在判定一個(gè)三角形是否為直角三角形時(shí)要注意直角三角形中有一個(gè)內(nèi)角為90.

【類(lèi)型二】直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用

如圖①，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.

(1)猜測(cè)∠1與∠2的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(2)如果∠A是鈍角，如圖②，(1)中的結(jié)論是否還成立？

解析：(1)根據(jù)垂直的定義可得△ABD和△BCE都是直角三角形，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠1＋∠B＝90，∠2＋∠B＝90，從而得解；(2)根據(jù)垂直的定義可得∠D＝∠E＝90，然后求出∠1＋∠4＝90，∠2＋∠3＝90，再根據(jù)∠3、∠4是對(duì)頂角解答即可．

解：(1)∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90，∠2＋∠B＝90，∴∠1＝∠2；

(2)結(jié)論仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90，∴∠1＋∠4＝90，∠2＋∠3＝90，∵∠3＝∠4(對(duì)頂角相等)，∴∠1＝∠2.

方法總結(jié)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，主要利用了直角三角形兩銳角互余，同角或等角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

探究點(diǎn)二：勾股定理

【類(lèi)型一】直接運(yùn)用勾股定理

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D.求：

(1)AC的長(zhǎng)；

(2)S△ABC；

(3)CD的長(zhǎng)．

解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝13cm，BC＝5cm，根據(jù)勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)；(2)直接利用三角形的面積公式即可求出S△ABC；(3)根據(jù)CDAB＝BCAC即可求出CD.

解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12cm；

(2)S△ABC＝CBAC＝30cm2；

(3)∵S△ABC＝ACBC＝CDAB，∴CD＝＝cm.

方法總結(jié)：解答此類(lèi)問(wèn)題，一般是先利用勾股定理求出第三邊，利用兩種方法表示出同一個(gè)直角三角形的面積，然后根據(jù)面積相等得出一個(gè)方程，再解這個(gè)方程即可．

【類(lèi)型二】分類(lèi)討論思想在勾股定理中的應(yīng)用

在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，試求△ABC周長(zhǎng)．

解析：本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，在Rt△ABD和Rt△ACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長(zhǎng)求出，兩者相加即為BC的長(zhǎng)，從而可將△ABC的周長(zhǎng)求出；(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，在Rt△ABD和Rt△ACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長(zhǎng)求出，兩者相減即為BC的長(zhǎng)，從而可將△ABC的周長(zhǎng)求出．

解：此題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：

(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝BD＋CD＝5＋9＝14，∴△ABC的周長(zhǎng)為15＋13＋14＝42；

(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9.在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周長(zhǎng)為15＋13＋4＝32.

∴當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為42；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為32.

方法總結(jié)：在題目未給出具體圖形時(shí)，應(yīng)考慮三角形是銳角三角形還是鈍角三角形，凡符合題設(shè)的情況都要考慮，體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想，這是解無(wú)圖幾何問(wèn)題的常用方法．

探究點(diǎn)三：勾股定理的逆定理

【類(lèi)型一】判斷三角形的形狀

如圖，正方形網(wǎng)格中有△ABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，則△ABC的形狀為()

A．直角三角形

B．銳角三角形

C．鈍角三角形

D．以上答案都不對(duì)

解析：∵正方形小方格邊長(zhǎng)為1，∴BC＝＝2，AC＝＝，AB＝＝.在△ABC中，∵BC2＋AC2＝52＋13＝65，AB2＝65，∴BC2＋AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．故選A.

方法總結(jié)：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．

【類(lèi)型二】利用勾股定理的逆定理證明垂直關(guān)系

如圖，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD，求證：CE⊥EF.

證明：連接CF，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，AF＝AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，F(xiàn)C2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，∴∠FEC＝90，即EF⊥CE.

方法總結(jié)：利用勾股定理的逆定理可以判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，所以此定理也是判定垂直關(guān)系的一個(gè)主要方法．

【類(lèi)型三】運(yùn)用勾股定理的逆定理解決面積問(wèn)題

如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四邊形ABCD的面積．

解析：連接AC，根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理的逆定理可證△ACD為直角三角形，然后代入三角形面積公式將△ABC和△ACD這兩個(gè)直角三角形的面積求出，兩者面積相加即為四邊形ABCD的面積．

解：連接AC，∵∠B＝90，∴△ABC為直角三角形．∵AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90，∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝68＋1024＝144.