用公式法求解一元二次方程教案

教學(xué)內(nèi)容

1．一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；

2．公式法的概念；

3．利用公式法解一元二次方程．

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程．

復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程．

重難點關(guān)鍵

1．重點：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用．

2．難點與關(guān)鍵：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo)．

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）用配方法解下列方程

（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52

（老師點評） （1）移項，得：6x2-7x=-1

二次項系數(shù)化為1，得：x2-x=-

配方，得：x2-x+（）2=-+（）2

（x-）2=

x-= x1=+==1

x2=-+==

（2）略

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學(xué)生總結(jié)，老師點評）．

（1）移項；

（2）化二次項系數(shù)為1；

（3）方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；

（4）原方程變形為（x+m）2=n的形式；

（5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則一元二次方程無解．

二、探索新知

如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學(xué)獨立完成下面這個問題．

問題：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，試推導(dǎo)它的兩個根x1=，x2=

分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a、b、c也當(dāng)成一個具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去．

解：移項，得：ax2+bx=-c

二次項系數(shù)化為1，得x2+x=-

配方，得：x2+x+（）2=-+（）2

即（x+）2=

∵b2-4ac≥0且4a2>0

∴≥0

直接開平方，得：x+=

即x=

∴x1=，x2=

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：

（1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b-4ac≥0時，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根．

（2）這個式子叫做一元二次方程的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根．

例1．用公式法解下列方程．

（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2

（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可．

解：（1）a=2，b=-4，c=-1

b2-4ac=（-4）2-42（-1）=24>0

x=

∴x1=，x2=

（2）將方程化為一般形式

3x2-5x-2=0

a=3，b=-5，c=-2

b2-4ac=（-5）2-43（-2）=49>0

x=

x1=2，x2=-

（3）將方程化為一般形式

3x2-11x+9=0

a=3，b=-11，c=9

b2-4ac=（-11）2-439=13>0

∴x=

∴x1=，x2=

（3）a=4，b=-3，c=1

b2-4ac=（-3）2-441=-7<0

因為在實數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開平方，所以方程無實數(shù)根．

三、鞏固練習(xí)

教材P43 隨堂練習(xí)

四、應(yīng)用拓展

例．某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列問題．

（1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．

（2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出．

你能解決這個問題嗎？

分析：能．（1）要使它為一元二次方程，必須滿足m2+1=2，同時還要滿足（m+1）≠0．

（2）要使它為一元一次方程，必須滿足:

①或②或③

解：（1）存在．根據(jù)題意，得：m2+1=2

m2=1 m=1

當(dāng)m=1時，m+1=1+1=2≠0

當(dāng)m=-1時，m+1=-1+1=0（不合題意，舍去）

∴當(dāng)m=1時，方程為2x2-1-x=0

a=2，b=-1，c=-1

b2-4ac=（-1）2-42（-1）=1+8=9

x=

x1=，x2=-

因此，該方程是一元二次方程時，m=1，兩根x1=1，x2=-．

（2）存在．根據(jù)題意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0

因為當(dāng)m=0時，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0

所以m=0滿足題意．

②當(dāng)m2+1=0，m不存在．

③當(dāng)m+1=0，即m=-1時，m-2=-3≠0

所以m=-1也滿足題意．

當(dāng)m=0時，一元一次方程是x-2x-1=0，

解得：x=-1

當(dāng)m=-1時，一元一次方程是-3x-1=0

解得x=-

因此，當(dāng)m=0或-1時，該方程是一元一次方程，并且當(dāng)m=0時，其根為x=-1；當(dāng)m=-1時，其一元一次方程的根為x=-．

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

（1）求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；

（2）公式法的概念；

（3）應(yīng)用公式法解一元二次方程；

（4）初步了解一元二次方程根的情況．

六、布置作業(yè)

1．教材P43 習(xí)題2.5 1、2

2．選用作業(yè)設(shè)計:

一、選擇題

1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．

A．x= B．x= C．x= D．x=

2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）．

A．x1=，x2=；B．x1=6，x2=；C．x1=2，x2=；D．x1=x2=-

3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（ ）．

A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2