等腰三角形的判定與反證法教案

1．掌握等腰三角形的判定定理并學(xué)會運(yùn)用；(重點(diǎn))

2．理解并掌握反證法的思想，能夠運(yùn)用反證法進(jìn)行證明．

一、情境導(dǎo)入

某地質(zhì)專家為估測一條東西流向河流的寬度，選擇河流北岸上一棵樹(A點(diǎn))為目標(biāo)，然后在這棵樹的正南方南岸B點(diǎn)插一小旗作標(biāo)志，沿南偏東60度方向走一段距離到C處時，測得∠ACB為30度，這時，地質(zhì)專家測得BC的長度是50米，就可知河流寬度是50米．

同學(xué)們，你們想知道這樣估測河流寬度的根據(jù)是什么嗎？他是怎么知道BC的長度是等于河流寬度的呢？今天我們就要學(xué)習(xí)等腰三角形的判定．

二、合作探究

探究點(diǎn)一：等腰三角形的判定(等角對等邊)

【類型一】確定等腰三角形的個數(shù)

如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有()

A．5個 B．4個

C．3個 D．2個

解析：共有5個．(1)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝(180－36)＝72.又∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠ABC＝36＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可證△CDE和△BCD也是等腰三角形．故選A.

方法總結(jié)：確定等腰三角形的個數(shù)要先找出相等的邊和相等的角，然后確定等腰三角形，再按順序不重不漏地?cái)?shù)出等腰三角形的個數(shù)．

【類型二】判定一個三角形是等腰三角形

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的角平分線，AE與CD交于點(diǎn)F，求證：△CEF是等腰三角形．

解析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得∠CEF＝∠CFE，根據(jù)等角對等邊求得CE＝CF，從而求得△CEF是等腰三角形．

解：∵在△ABC中，∠ACB＝90，∴∠B＋∠BAC＝90.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．

方法總結(jié)：“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是先有角相等再有邊相等，只限于在同一個三角形中，若在兩個不同的三角形中，此結(jié)論不一定成立．

【類型三】等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用

如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE.

(1)求證：△DEF是等腰三角形；

(2)當(dāng)∠A＝50時，求∠DEF的度數(shù)．

解析：(1)根據(jù)等邊對等角可得∠B＝∠C，利用“邊角邊”證明△BDE和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE＝EF，再根據(jù)等腰三角形的定義證明即可；(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義求出∠B＝∠DEF.

(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；

(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50，AB＝AC，∴∠B＝(180－50)＝65，∴∠DEF＝65.

方法總結(jié)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．

探究點(diǎn)二：反證法

【類型一】假設(shè)

用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60”時，首先應(yīng)假設(shè)這個三角形中()

A．有一個內(nèi)角大于60

B．有一個內(nèi)角小于60

C．每一個內(nèi)角都大于60

D．每一個內(nèi)角都小于60

解析：用反證法證明命題時，應(yīng)先假設(shè)結(jié)論不成立，所以可先假設(shè)三角形中每一個內(nèi)角都不小于或等于60，即都大于60.故選C.

方法總結(jié)：在假設(shè)結(jié)論不成立時，要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，必須把它全部否定．