集合間的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計（2）

第一節(jié)通過研究集合中元素的特點研究了元素與集合之間的關(guān)系及集合的表示方法，而本節(jié)重點通過研究元素得到兩個集合之間的關(guān)系，尤其學(xué)生學(xué)完兩個集合之間的關(guān)系后，一定讓學(xué)生明確元素與集合、集合與集合之間的區(qū)別。

課程目標(biāo)

1. 了解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．

2. 理解子集.真子集的概念．

3. 能使用圖表達(dá)集合間的關(guān)系，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：子集和空集含義的理解；

2.邏輯推理：子集、真子集、空集之間的聯(lián)系與區(qū)別；

3.數(shù)學(xué)運算：由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍，常見包含一元二次方程及其不等式和不等式組；

4.數(shù)據(jù)分析：通過集合關(guān)系列不等式組，此過程中重點關(guān)注端點是否含“=”及問題；

5.數(shù)學(xué)建模：用集合思想對實際生活中的對象進(jìn)行判斷與歸類。

重點：集合間的包含與相等關(guān)系，子集與其子集的概念．

難點：難點是屬于關(guān)系與包含關(guān)系的區(qū)別．

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

一、問題導(dǎo)入：

實數(shù)有相等、大小關(guān)系，如5=5，5＜7，5＞3等等，類比實數(shù)之間的關(guān)系，你會想到集合之間有什么關(guān)系呢？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本7-8頁，思考并完成以下問題

1.集合與集合之間有什么關(guān)系？怎樣表示集合間的這些關(guān)系？

2. 集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符號表示？

3. 空集是什么樣的集合？空集和其他集合間具有什么關(guān)系？

要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

（一）知識整理

1．集合與集合的關(guān)系

（1）一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為B的子集.

記作：

讀作：A包含于B(或B包含A).

圖示：

（2）如果兩個集合所含的元素完全相同（），那么我們稱這兩個集合相等.

記作：

讀作：A等于B.

圖示：

2.真子集

若集合，存在元素，則稱集合A是集合B的真子集。

記作：A B（或B A）

讀作：A真包含于B（或B真包含A）

3．空集

不含有任何元素的集合稱為空集，記作：.

規(guī)定：空集是任何集合的子集。

（二）知識擴(kuò)展

1. 能否說任何一集合是它本身的子集，即?

2. 集合A是集合B的真子集與集合A是集合B的子集之間有什么區(qū)別?

3. 空集是任何集合的子集嗎?空集是任何集合的真子集嗎?

4. 集合的子集和真子集個數(shù)與集合元素有什么關(guān)系？結(jié)合實例探究。

5.0，{0}與三者之間有什么關(guān)系?

6.與屬于關(guān)系有什么區(qū)別?試結(jié)合實例做出解釋.

7. 對于集合A，B，C，如果AB，BC，那么集合A與C有什么關(guān)系?

要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題，教師巡視指導(dǎo)，解答學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中遇到的困惑過程。

結(jié)論：（1）（類比）

（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（3）若則（類比，則）

（4）一般地，一個集合元素若為n個，則其子集數(shù)為2n個，其真子集數(shù)為2n-1個，特別地，空集的子集個數(shù)為1，真子集個數(shù)為0。

四、典例分析、舉一反三

題型一寫出給定集合的子集

例1 (1)寫出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;

(2)填寫下表,并回答問題:

由此猜想:含n個元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的個數(shù)是多少?真子集的個數(shù)及非空真子集的個數(shù)呢?

【答案】見解析

【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一個元素、含有兩個元素、含有三個元素這四種情況分別寫出子集.(2)由特殊到一般,歸納得出.

解:(1)不含任何元素的子集為?;含有一個元素的子集為{0},{1},{2};

含有兩個元素的子集為{0,1},{0,2},{1,2};含有三個元素的子集為{0,1,2}.

故集合{0,1,2}的所有子集為?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.

其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.

(2)

由此猜想:含n個元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的個數(shù)是2n,真子集的個數(shù)是2n-1,非空真子集的個數(shù)是2n-2.

解題技巧：（分類討論是寫出所有子集的方法）

1.分類討論是寫出所有子集的有效方法,一般按集合中元素個數(shù)的多少來劃分,遵循由少到多的原則,做到不重不漏.

2.若集合A中有n個元素,則集合A有2n個子集,有(2n-1)個真子集,有(2n-1)個非空子集,有(2n-2)個非空真子集,該結(jié)論可在選擇題或填空題中直接使用.

跟蹤訓(xùn)練一

1.若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},則滿足條件的集合A的個數(shù)為( )

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】B

【解析】集合{1,2,3}是集合A的真子集,同時集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.

題型二韋恩圖及其應(yīng)用

例2 下列能正確表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}的關(guān)系的維恩圖是( )

【答案】B

【解析】∵N={x|x2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},∴N?M,故選B.

解題技巧：(應(yīng)用)

是集合的又一種表示方法,使用方便,表達(dá)直觀,可迅速幫助我們分析問題、解決問題,但它不能作為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)工具使用.

跟蹤訓(xùn)練二

2.設(shè)A={四邊形},B={梯形},C={平行四邊形},D={菱形},E={正方形},則下列關(guān)系正確的是( )

A.E?D?C?A B.D?E?C?A

C.D?B?A D.E?D?C?B?A

【答案】A

【解析】集合A,B,C,D,E之間的關(guān)系可用Venn圖表示,結(jié)合下圖可知,應(yīng)選A.

題型三由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍

例3已知集合A={x|-5

(1)若a=-1,試判斷集合A,B之間是否存在子集關(guān)系;

(2)若A?B,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】見解析

【解析】分析:(1)令a=-1,寫出集合B,分析兩個集合中元素之間的關(guān)系,判斷其子集關(guān)系;(2)根據(jù)集合B是否為空集進(jìn)行分類討論;然后把兩集合在數(shù)軸上標(biāo)出,根據(jù)子集關(guān)系確定端點值之間的大小關(guān)系,進(jìn)而列出參數(shù)a所滿足的條件.

解:(1)若a=-1,則B={x|-5

如圖在數(shù)軸上標(biāo)出集合A,B.

由圖可知,B?A.

(2)由已知A?B.

①當(dāng)B=?時,2a-3≥a-2,解得a≥1.顯然成立.

②當(dāng)B≠?時,2a-3

由已知A?B,如圖在數(shù)軸上表示出兩個集合,

由圖可得解得-1≤a≤4.

又因為a<1,所以實數(shù)a的取值范圍為-1≤a<1

變式1． [變條件]【例3】(2)中,是否存在實數(shù)a,使得A?B?若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,試說明理由.

【答案】見解析

【解析】因為A={x|-5