勾股定理的應用教案

第一環(huán)節(jié)：情境引入

內(nèi)容：

情景1：多媒體展示：

提出問題：從二教樓到綜合樓怎樣走最近？

情景2：

如圖：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？

意圖：

通過情景1復習公理：兩點之間線段最短；情景２的創(chuàng)設引入新課，激發(fā)學生探究熱情．

效果：

從學生熟悉的生活場景引入，提出問題，學生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好基礎．

第二環(huán)節(jié)：合作探究

內(nèi)容：

學生分為４人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結(jié)出最短路線．讓學生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數(shù)學解決實際問題的方法．

意圖：

通過學生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解．在活動中體驗數(shù)學建摸，培養(yǎng)學生與人合作交流的能力，增強學生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念．

效果：

學生匯總了四種方案：

學生很容易算出：情形（1）中A→B的路線長為：，

情形（2）中A→B的路線長為：

所以情形（1）的路線比情形（2）要短．

學生在情形（3）和（4）的比較中出現(xiàn)困難，但還是有學生提出用剪刀沿母線AA’剪開圓柱得到矩形，情形（3）A→B是折線，而情形（4）是線段，故根據(jù)兩點之間線段最短可判斷（4）較短，最后通過計算比較（1）和（4）即可．

如圖：

（1）中A→B的路線長為：．

（2）中A→B的路線長為：>AB．

（3）中A→B的路線長為：AO+OB>AB．

（4）中A→B的路線長為：AB．

得出結(jié)論：利用展開圖中兩點之間，線段最短解決問題．在這個環(huán)節(jié)中，可讓學生沿母線剪開圓柱體，具體觀察．接下來后提問：怎樣計算AB？

在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，則．

注意事項：本環(huán)節(jié)的探究把圓柱側(cè)面尋最短路徑拓展到了圓柱表面，目的僅僅是讓學生感知最短路徑的不同存在可能．但這一拓展使學生無法去論證最短路徑究竟是哪條．因此教學時因該在學生在圓柱表面感知后，把探究集中到對圓柱側(cè)面最短路徑的探究上．

方法提煉：解決實際問題的關鍵是根據(jù)實際問題建立相應的數(shù)學模型，解決這一類幾何型問題的具體步驟大致可以歸納如下：

1．審題——分析實際問題；

2．建模——建立相應的數(shù)學模型；

3．求解——運用勾股定理計算；

4．檢驗——是否符合實際問題的真實性．

第三環(huán)節(jié)：做一做

內(nèi)容：

李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，

（1）你能替他想辦法完成任務嗎？

（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？

（3）小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

解答：（2）

∴AD和AB垂直．

意圖：

運用勾股定理逆定理來解決實際問題，讓學生學會分析問題，利用允許的工具靈活處理問題．

效果：

先鼓勵學生自己尋找辦法，再讓學生說明李叔叔的辦法的合理性．當刻度尺較短時，學生可能會在上面解決問題的基礎上，想出多種辦法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的長度，或在AB，AD邊上各量一段較小長度，再去量以它們?yōu)檫叺娜切蔚牡谌?，從而得到結(jié)論．

第四環(huán)節(jié)：小試牛刀

內(nèi)容：

1．甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6 km/h的速度向正東行走，1時后乙出發(fā)，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙兩人相距多遠？

解答：如圖:已知A是甲、乙的出發(fā)點，10:00甲到達B點，乙到達C點．則:

AB=26=12（km）

AC=15=5（km）

在Rt△ABC中:

∴BC=13（km）．

即甲乙兩人相距13 km．

2．如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離．

解答：.

3．有一個高為1.5 m，半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5 m，問這根鐵棒有多長？

解答：設伸入油桶中的長度為x m．

則最長時:

∴最長是2.5+0.5=3（m）．

最短時: ．

∴最短是1.5+0.5=2（m）．

答:這根鐵棒的長應在2～3m之間．

意圖：

對本節(jié)知識進行鞏固練習，訓練學生根據(jù)實際情形畫出示意圖并計算．

效果：

學生能獨立地畫出示意圖，將現(xiàn)實情形轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，并求解．

第五環(huán)節(jié)：舉一反三

內(nèi)容：

1．如圖，在棱長為10 cm的正方體的一個頂點A處有一只螞蟻，現(xiàn)要向頂點B處爬行，已知螞蟻爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不變，問螞蟻能否在20 s內(nèi)從A爬到B？

解：如圖，在Rt△ABC中:

∵500＞202 .

∴不能在20s內(nèi)從A爬到B.

2．在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？

解答：設水池的水深AC為x尺，則這根蘆葦長為

AD=AB=（x+1）尺，

在直角三角形ABC中，BC=5尺.

由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.

即 52+x2=（x+1）2.

25+x2= x2+2x+1.

2x=24.

∴ x=12，x+1=13．

答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺．

意圖：

第1題旨在對“螞蟻怎樣走最近”進行拓展，從圓柱側(cè)面到棱柱側(cè)面，都是將空間問題平面化；第2題，學生可以進一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應用，了解我國古代人民的聰明才智；運用方程的思想并利用勾股定理建立方程．

效果：

學生能畫出棱柱的側(cè)面展開圖，確定出AB位置，并正確計算．如有可能，還可把正方體換成長方體進行討論．

學生能畫出示意圖，找等量關系，設適當?shù)奈粗獢?shù)建立方程．

注意事項：對于普通班級而言，學生完成“小試牛刀”，已經(jīng)基本完成課堂教學任務．因此本環(huán)節(jié)可以作為教學中的一個備選環(huán)節(jié)，共老師們根據(jù)學生狀況選用．

第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)

內(nèi)容：

師生相互交流總結(jié)：

1．解決實際問題的方法是建立數(shù)學模型求解．

2．在尋求最短路徑時，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實際問題．

意圖：

鼓勵學生結(jié)合本節(jié)課的學習談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應用及它們的悠久歷史．

效果：

學生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，總結(jié)出在尋求曲面最短路徑時，往往考慮其展開圖，利用兩點之間，線段最短進行求解．并贊嘆我國古代數(shù)學的成就．

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

1．課本習題1．4第1，2，3題．

2．如圖是學校的旗桿，旗桿上的繩子垂到了地面，并多出了一段，現(xiàn)在老師想知道旗桿的高度，你能幫老師想個辦法嗎?請你與同伴交流設計方案?

注意事項：作業(yè)2作為學有余力的學生的思考題．

教學設計反思

本節(jié)從生動有趣的問題情景出發(fā)，通過學生自主探究，運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題，既鞏固了基本知識點，又在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，學會觀察，提高分析能力，滲透數(shù)學建摸思想．在設計中，我注重以下兩點：