雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.

B.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.

C.與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較,并加以區(qū)分.

1.數(shù)學(xué)抽象：雙曲線的定義

2.邏輯推理：運(yùn)用定義推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法

4.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用雙曲線解法實(shí)際問(wèn)題

5.直觀想象：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情景導(dǎo)學(xué)

雙曲線也是具有廣泛應(yīng)用的一種圓錐曲線，如發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過(guò)聲音時(shí)差測(cè)定定位等都要用到雙曲線的性質(zhì)。本節(jié)我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關(guān)問(wèn)題。

1.雙曲線的定義

從橢圓的情形一樣，下面我們用坐標(biāo)法來(lái)探討嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問(wèn)題，并求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

此時(shí)雙曲線的焦點(diǎn)分別為

且與①右邊同時(shí)取正號(hào)或負(fù)號(hào)，①+ 整理得

=+ ③

將③式平方再整理得 ④

因?yàn)? ，所以>0

設(shè)=

且,則④可化為 (>0，>0)

設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為 ，焦距為，而且雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足

2a其中，以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，此時(shí)；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線與橢圓的比較

1.在雙曲線的定義中,若去掉條件0<2a<|F1F2|,則點(diǎn)的軌跡是怎樣的?

提示:①當(dāng)2a等于|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條方向相反的射線(包括端點(diǎn)).

②當(dāng)2a大于|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.

③當(dāng)2a等于零時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線.

2.判斷

(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.( )

(2)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差等于5的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.( )

(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.( )

答案:(1) (2) (3)

3.過(guò)點(diǎn)(1,1),且的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )

A.-y2=1 B.-x2=1

C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1

解析:∵,∴b2=2a2.

當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)雙曲線方程為=1,

將點(diǎn)(1,1)代入方程中,得a2=.

此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1.同理求得焦點(diǎn)在y軸上時(shí),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-x2=1.答案:D

二、典例解析

例1求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)焦點(diǎn)在x軸上,a=2,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5,2);

(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(-7,-6),B(2,3).

分析(1)設(shè)雙曲線方程為=1(a>0,b>0),代入點(diǎn)的坐標(biāo),解方程即可得到.(2)可設(shè)雙曲線方程為mx2-ny2=1,代入點(diǎn)的坐標(biāo),得到方程組,解方程組即可得到.

解:(1)設(shè)雙曲線方程為=1(a>0,b>0),

則a=2=1,解得b2=16,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

(2)設(shè)雙曲線方程為mx2-ny2=1,

則有解得則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相似,可以先根據(jù)其焦點(diǎn)位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,然后用待定系數(shù)法求出a,b的值.若焦點(diǎn)位置不確定,可按焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論求解,此方法思路清晰,但過(guò)程復(fù)雜.若雙曲線過(guò)兩定點(diǎn),可設(shè)其方程為mx2+ny2=1(mn<0),通過(guò)解方程組即可確定m,n,避免了討論,從而簡(jiǎn)化求解過(guò)程.

跟蹤訓(xùn)練1 根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)焦點(diǎn)在x軸上,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,-2)和點(diǎn)Q(2,2);

(2)過(guò)點(diǎn)P,Q且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.

解:(1)因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,

可設(shè)雙曲線方程為=1(a>0,b>0),

將點(diǎn)(4,-2)和(2,2)代入方程得

解得a2=8,b2=4,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

(2)設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1,AB<0.

因?yàn)辄c(diǎn)P,Q在雙曲線上,

則解得

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

跟蹤訓(xùn)練2. “神舟”九號(hào)飛船返回艙順利到達(dá)地球后,為了及時(shí)將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記A,B,C),A在B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30方向,相距4千米,P為航天員著陸點(diǎn).某一時(shí)刻,A接收到P的求救信號(hào),由于B,C兩地比A距P遠(yuǎn),在此4秒后,B,C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào).已知該信號(hào)的傳播速度為1千米/秒,求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.

解:因?yàn)閨PC|=|PB|,所以P在線段BC的垂直平分線上.

又因?yàn)閨PB|-|PA|=4<6=|AB|,

所以P在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上.

以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的垂直平分線所在直線為y軸,正東方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.

則A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).

所以雙曲線方程為=1(x>2),

BC的垂直平分線方程為x-y+7=0.

聯(lián)立兩方程解得x=8(舍負(fù)),y=5, 所以P(8,5),

kPA=tan∠PAx=,所以∠PAx=60,

所以P點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東30方向.

通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生類比思考，引出雙曲線的定義。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，直觀想象的核心素養(yǎng)。

類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)，運(yùn)用雙曲線定義推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.已知兩定點(diǎn)F1(-5,0),F2(5,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2a,則當(dāng)a=3和5時(shí),P點(diǎn)的軌跡為( )

A.雙曲線和一條直線

B.雙曲線和一條射線

C.雙曲線的一支和一條直線

D.雙曲線的一支和一條射線

解析:當(dāng)a=3時(shí),根據(jù)雙曲線的定義及|PF1|>|PF2|可推斷出其軌跡是雙曲線的一支.當(dāng)a=5時(shí),方程y2=0,可知其軌跡與x軸重合,舍去在x軸負(fù)半軸上的一段,又因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2a,說(shuō)明|PF1|>|PF2|,所以應(yīng)該是起點(diǎn)為(5,0),與x軸重合向x軸正方向延伸的射線.

答案:D

2.已知雙曲線=1(a>0,b>0),F1,F2為其兩個(gè)焦點(diǎn),若過(guò)焦點(diǎn)F1的直線與雙曲線的同一支相交,且所得弦長(zhǎng)|AB|=m,則△ABF2的周長(zhǎng)為( )

A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m

解析:不妨設(shè)|AF2|>|AF1|,由雙曲線的定義,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周長(zhǎng)l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故選C.

答案:C

3.已知方程=1表示雙曲線,則m的取值范圍是( )

A.(-1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)

解析:∵方程=1,∴(m-2)(m+1)<0,

解得-1

答案:D

4. 一塊面積為12公頃的三角形形狀的農(nóng)場(chǎng).如圖所示△PEF,已知tan∠PEF=,tan∠PFE=-2,試建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系,求出分別以E,F為左、右焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線方程.

解:以E,F所在直線為x軸,EF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)以E,F為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線方程為=1,

焦點(diǎn)為E(-c,0),F(c,0). 由tan∠PEF=,tan∠EFP=-2,

設(shè)∠PFx=α,則tan α=tan(π-∠EFP)=2,

得直線PE和直線PF的方程分別為y=(x+c)和y=2(x-c).

聯(lián)立兩方程,解得x=c,y=c, 即P點(diǎn)坐標(biāo)為.

∵在△EFP中,|EF|=2c,EF上的高為點(diǎn)P的縱坐標(biāo),

∴S△EFP=c2=12,∴c=3,即P點(diǎn)坐標(biāo)為(5,4).

由兩點(diǎn)間的距離公式

|PE|==4,|PF|==2,

∴a=.又b2=c2-a2=4,

故所求雙曲線的方程為=1.

5.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于8;

(2)以橢圓=1長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,);

(3)a=b,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-1).

解:(1)由雙曲線的定義知,2a=8,所以a=4,又知焦點(diǎn)在x軸上,且c=5,

所以b2=c2-a2=25-16=9,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

(2)由題意得,雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,且c=2.

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>0,b>0),

則有a2+b2=c2=8,=1,解得a2=3,b2=5.

故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

(3)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=a2,將點(diǎn)(3,-1)代入,

得32-(-1)2=a2,所以a2=b2=8.因此,所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),可設(shè)雙曲線方程為y2-x2=a2,將點(diǎn)(3,-1)代入,得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能,所以焦點(diǎn)不可能在y軸上.

綜上,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。