二項分布教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.理解伯努利試驗以及n重伯努利試驗的概念,掌握隨機變量服從二項分布的有關計算;

B.能夠解決隨機變量服從二項分布的實際應用問題，會求服從二項分布的隨機變量的均值和方差.

1.數(shù)學抽象：n重伯努利試驗的概念

2.邏輯推理：二項分布的隨機變量的均值和方差

3.數(shù)學運算：二項分布的有關計算

4.數(shù)學建模：模型化思想

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、問題導學

問題1：伯努利試驗

在實際問題中，有許多隨機試驗與擲硬幣試驗具有相同的特征，它們只包含兩個可能結果.

例如，檢驗一件產品結果為合格或不合格，飛碟射擊時中靶或脫靶，醫(yī)學檢驗結果為陽性或陰性等.我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗（Bernoulli trials).我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗。顯然，n重伯努利試驗具有如下共同特征：

(1）同一個伯努利試驗重復做n次；（概率相同）

(2) 各次試驗的結果相互獨立.

做一做:下面3個隨機試驗是否為n重伯努利試驗?

如果是,那么其中的伯努利試驗是什么?對于每個試驗,定義“成功”的事件為A,那么A的概率是多大?重復試驗的次數(shù)是多少？

1.拋擲一枚質地均勻的硬幣10次.

2.某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次.

3.一批產品的次品率為5%，有放回地隨機抽取20件.

二、探究新知

探究1 ：伯努利試驗和n重伯努利試驗有什么不同?

伯努利試驗是一個“有兩個結果的試驗”，只能關注某個事件發(fā)生或不發(fā)生；n重伯努利試驗是對一個“有兩個結果的試驗”重復進行了n次，所以關注點是這n次重復試驗中“發(fā)生”的次數(shù)X.進一步地，因為X是一個離散型隨機變量，所以我們實際關心的是它的概率分布列.

問題2：某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的？

用A_i表示“第i次射擊中靶”(i=1，2，3)，用如下圖的樹狀圖表示試驗的可能結果：

問題由分步乘法計數(shù)原理，3次獨立重復試驗共有2³=8種可能結果，它們兩兩互斥，每個結果都是3個相互獨立事件的積，由概率的加法公式和乘法公式得

P(X=3)=P()=

為了簡化表示，每次射擊用1表示中靶，用0表示脫靶，那么3次射擊恰好2次中靶的所有可能結果可表示為011，110，101，這三個結果發(fā)生的概率都相等，均為0.8²0.2，并且與哪兩次中靶無關.

因此,3次射擊恰好2次中靶的概率為.同理可求中靶0次,1次,3次的概

探究2：如果連續(xù)射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數(shù)X等于2的結果有哪些？寫出中靶次數(shù)X的分布列.

(1)表示中靶次數(shù)X等于2的結果有：, ,, , , ,共6個。

(2)中靶次數(shù)X的分布列為：

二項分布

一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為,n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布（binomial distribution），記作X~B(n,p).

思考1：二項分布與兩點分布有何關系?

兩點分布是一種特殊的二項分布，即是n=1的二項分布；二項分布可以看做兩點分布的一般形式.

思考2：對比二項分布和二項式定理，你能看出他們之間的聯(lián)系嗎？

如果把p看成b，1-p看成a，則就是二項式的展開式的通項，由此才稱為二項分布。

即=1

三、典例解析

例1 ：將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲10次，求：

（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；

（2）正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4，0.6]內的概率.

分析:拋擲一枚質地均勻的硬幣,出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種結果且可能性相等,這是一個10重伯努利試驗,因此,正面朝上的次數(shù)服從二項分布。

解：設A=“正面朝上”，則P(A）=0.5.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，X~B(10,0.5).

(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價于X=5，于是;

(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4，0.6]內等價于4≤X≤6，于是

例2：如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列。

分析：小球落入哪個格子取決于在下落過程中與各小木釘碰撞的結果,設試驗為觀察小球碰到小木釘后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”兩種可能結果,且概率都是0.5.在下落的過程中,小球共碰撞小木釘10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影響,因此這是一個10重伯努利試驗,小球最后落入格子的號碼等于向右落下的次數(shù),因此X服從二項分布。

解：設A=“向右下落”，則=“向左下落”，且P(A)=P()=0.5.因為小球最后落入格子的號碼X等于事件A發(fā)生的次數(shù)，而小球在下落的過程中共碰撞小木釘10次，所以X～B(10，0.5）.于是，X的分布列為,10.

X的概率分布圖如下圖所示：

二項分布中需要注意的問題和關注點

(1）當X服從二項分布時，應弄清X～B(n，p）中的試驗次數(shù)n與成功概率p.

(2）解決二項分布問題的兩個關注點

①對于公式P(X＝k）＝Cknp^k(1－p）^n－k(k＝0，1，2，…，n），必須在滿足“獨立重復試驗”時才能應用，否則不能應用該公式．

②判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次．

例3：甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利?

分析:判斷哪個賽制對甲有利,就是看在哪個賽制中甲最終獲勝的概率大,可以把“甲最終獲勝”這個事件,按可能的比分情況表示為若干事件的和,再利用各局比賽結果的獨立性逐個求概率;也可以假定賽完所有n局,把n局比賽看成n重伯努利試驗,利用二項分布求“甲最終獲勝”的概率。

解法一：采用3局2勝制，甲最終獲勝有兩種可能的比分2：0或2：1，前者是前兩局甲連勝，后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3局甲勝.因為每局比賽的結果是獨立的，甲最終獲勝的概率為

類似地，采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分3：0，3：1或3：2因為每局比賽的結果是獨立的，所以甲最終獲勝的概率為.

解法2：采用3局2勝制，不妨設賽滿3局，用X表示3局比賽中甲勝的局數(shù)，則X～B(3，0.6).甲最終獲勝的概率為=P(X=2)+P(X=3)= =0.648.

采用5局3勝制，不妨設賽滿5局，用X表示5局比賽中甲勝的局數(shù)，

則X～B(5，0.6).

甲最終獲勝的概率為 + =0.68256

因為，所以5局3勝制對甲有利.實際上，比賽局數(shù)越多，對實力較強者越有利.

探究3：假設隨機變量X服從二項分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？

（1）

一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).

證明：∵P(X=k)= C_n^kp^kq^n-k

(∵ k C_n^k =nC_n-1^k-1)

∴kP(X=k)= kC_n^kp^kq^n-k= npC_n-1^k-1p^k-1q^n-k

∴E (X) =0C_n⁰p⁰qⁿ+ 1C_n¹p¹q^n-1+ 2C_n²p²q^n-2 + …+ kC_n^kp^kq^n-k+…+ nC_nⁿpⁿq⁰

=np(C_n-1⁰p⁰q^n-1+ C_n-1¹p¹q^n-2+ … + C_n-1^k-1p^k-1q^(n-1)-(k-1) +…+ C_n-1^n-1p^n-1q⁰)=np(p+q)^n-1=np

例4. 一次數(shù)學測驗由25道選擇題構成，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確的，每道題選擇正確得4分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，某學生選對任一題的概率均為0.6，求此學生在這一次測驗中的成績的數(shù)學期望和方差．

解析：設該學生在這次數(shù)學測驗中選對答案的題目的個數(shù)為ξ，所得的分數(shù)為η，

由題意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，

則E(ξ)＝250.6＝15，D(ξ)＝250.6(1－0.6)＝6.

故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝4²D(ξ)＝96.

所以該學生在這一次測驗中的成績的數(shù)學期望與方差分別是

60和96.

通過具體的問題情境，引發(fā)學生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入的n重伯努利試驗的概念，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過問題分析，讓學生掌握二項分布的概念及其特點。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，在具體的問題情境中，深化對二項分布的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.某射擊選手每次射擊擊中目標的概率是0.8，這名選手在10次射擊中，恰有8次擊中目標的概率為( ）

A．C8100.8⁸0.2² B．0.8⁸0.2²

C．C2100.2⁸0.8² D．0.2⁸0.8²

解析：設X為擊中目標的次數(shù)，則X～B(10，0.8)，

∴這名選手在10次射擊中，恰有8次擊中目標的概率為P(X＝8)＝C8100.8⁸(1－0.8)²＝C8100.8⁸0.2².故選A.

答案：A

2.已知X是一個隨機變量，若X～B，則P(X＝2）等于( ）

A． B． C． D．

解析：由題意知n＝6，p＝，

故P(X＝2)＝C26＝C26＝.故選D.

答案：D

3.已知X～B(n，p），E(X）＝8，D(X）＝1.6，則n＝________，p＝________．

解析：因為隨機變量X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝8，D(X)＝np(1－p)＝1.6，解得p＝0.8，n＝10.

4.甲、乙兩隊參加世博會知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯者得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中每人答對的概率分別為，，，且各人答對正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊的總得分．

(1）求隨機變量ξ的分布列．

(2）用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB）.

解析：(1)由已知，甲隊中3人回答問題相當于3次獨立重復試驗，

所以ξ～B.

P(ξ＝0)＝C03＝，

P(ξ＝1)＝C13＝，

P(ξ＝2)＝C23＝，

P(ξ＝3)＝C33＝，

所以ξ的分布列為

(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，AB＝C∪D，C，D互斥．

P(C)＝C23＝.

P(D)＝＝.

所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.

5.一出租車司機從某飯店到火車站途中有6個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率是.

(1）求這位司機遇到紅燈數(shù)ξ的期望與方差．

(2）若遇上紅燈，則需等待30秒，求司機總共等待時間η的期望與方差．

解析：(1)易知司機遇上紅燈次數(shù)ξ服從二項分布，

且ξ～B，所以E(ξ)＝6＝2，

D(ξ)＝6＝.

(2)由已知η＝30ξ，所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。