正態(tài)分布教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A. 通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量；

2.通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特點；

3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義；

4.了解3σ原則,會求隨機變量在特殊區(qū)間內的概率.

1.數學抽象：正態(tài)分布曲線的特點

2.邏輯推理：正態(tài)分布的概念

3.數學運算：求隨機變量在特殊區(qū)間內的概率

4.數學建模：模型化思想

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、探究新知

現實中，除了前面已經研究過的離散型隨機變量外，還有大量問題中的隨機變量，不是離散的，它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實軸，但取一點的概率為0，我們稱這類隨機變量為連續(xù)性隨機變量，下面我們看一個具體問題.

(2).如何構建適當的概率模型刻畫誤差X的分布?

可用頻率分布直方圖描述這組誤差數據的分布,如右圖.所示.頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應區(qū)間內的頻率,所有小矩形的面積之和為1.

觀察圖形，誤差觀測值有正有負,并大致對稱地分布在X=0的兩側,而且小誤差比大誤差出現得更頻繁.

隨著樣本數據量越來越大,讓分組越來越多,組距越來越小,由頻率的穩(wěn)定性可知,規(guī)率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定,接近一條光滑的鐘形曲線,如右圖所示。

根據頻率與概率的關系，可用以用上圖中的鐘型曲線來描述袋裝食鹽質量誤差的概率分布.任意抽取一袋鹽，誤差落在[-2,-1]內的概率，可以用圖中黃色陰影部分的面積表示.

問題1：由函數知識可知，圖中的鐘形曲線是一個函數，那么，這個函數是否存在解析式呢？

對任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數,稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布(normal dis-tribution),記為X~N(u,σ²).特別地,當u=0, σ=1時,稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.

正態(tài)分布的定義

正態(tài)分布在概率和統計中占有重要地位,它廣泛存在于自然現象、生產和生活實踐之中.在現實生活中,很多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布

例如,某些物理量的測量誤差某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產量自動流水線生產的各種產品的質量指標(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容)某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等

探究2：觀察正態(tài)曲線及相應的密度函數

（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.

（2）曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱.

（3）曲線在x=μ處達到峰值 (最高點)

（4）當|X|無限增大時，曲線無限接近x軸.

（5）X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1 .

探究3：觀察正態(tài)曲線、相應的密度函數及概率的性質，你能發(fā)現正態(tài)曲線的哪些特點？

（1）當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；

(2)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定 .

σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；

σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.

正態(tài)分布的期望和方差

參數μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的

離散程度。

概念辨析

1、把一個正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到新的一條曲線b。下列說法中不正確的是（ ）

A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；

B.曲線a和曲線b的最高點的縱坐標相等;

C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;

D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2。

答案：D

二、典例解析

例1：李明上學有時坐公交車,有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到,坐公交車平均用時30 min，樣本方差為36;騎自行車平均用時34 min,樣本方差為4；假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.

(1)估計X,Y的分布中的參數;

(2）根據(1)中的估計結果,利用信息技術工具畫出X和Y的分布密度曲線;

(3）如果某天有38 min可用，李明應選擇哪種交通工具?如果某天只有34 min可用,又應該選擇哪種交通工具?請說明理由.

分析:對于第(1)問,正態(tài)分布由參數μ和σ 完全確定,根據正態(tài)分布參數的意義可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計.對于第(3)問,這是一個概率決策問題,首先要明確決策的準則,在給定的時間內選擇不遲到概率大的交通工具;然后結合圖形,相據概率的表示,比較概率的大小,作出判斷

解:(1)隨機變量X的樣本均值為30,樣本標準差為6;

隨機變量Y的樣本均值為34,樣本標準差為2.

用樣本均值估計參數μ.用樣本標準差估計參數σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2).

(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示,

(3)應選擇在給定時間內不遲到的概率大的交通工具.

由圖可知,Y的密度曲線X的密度曲線P(X≤38)

P(X ≤ 34)>P(Y ≤ 34).

所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應選擇騎自行車;如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應選擇坐公交車,

正態(tài)分布的3σ原則

[???3??,??+3??]中的值,這在統計學中稱為3??原則.

①P(μ－ σ ≤ X≤ μ＋σ)0.682 7；

②P(μ－2σ ≤ X≤μ＋2σ)0.954 5；

③P(μ－3σ ≤ X≤μ＋3σ)0.997 3.

特別地，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(?∞,+∞),但在一次試驗中,??的取值幾乎總落在區(qū)間[???3??,??+3??]內,而在此區(qū)間外取值的概率大約只有0.0027,通常認為這種情況幾乎不可能發(fā)生.

在實際應用中,通常認為服從于正態(tài)分布??(??,??²)的隨機變量??只取

例2.假設某地區(qū)高二學生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170（單位：cm，下同），標準差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學生，求這名學生的身高：

（1）不高于170的概率；

（2）在區(qū)間[160，180]內的概率；

（3）不高于180的概率.

解：設該學生的身高為X，由題意可知X~N(170 ，10²).

（1）P(X≤170 )=50％,

（2）因為均值為170，標準差為10，而160=170-10,180=170+10，所以

P(160≤X≤ 180 ) =P(|X–170|≤10) ≈68.3％，

(3）由（2）以及正態(tài)曲線的對稱性可知

P(170≤X≤ 180 )= P(160≤X≤ 180 ) ≈ 68.3％=34.15％，

由概率加法公式可知P(X≤ 180 )= P(X≤ 170 )+ P(170≤X≤ 180 )

≈ 50％+34.15％=84.15％.

服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間內取值概率的求解策略

(1)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.

(2)注意概率值的求解轉化:

①P(X

②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);

(3)熟記P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.

③若b<μ,則P(X.

跟蹤訓練1．某廠包裝食鹽的生產線，正常情況下生產出來的食鹽質量服從正態(tài)分布（單位：）.該生產線上的檢測員某天隨機抽取了兩包食鹽，稱得

其質量均大于大于 .

（1）求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質量大于的概率約為多少;

（2）檢測員根據抽檢結果，判斷出該生產線出現異常，要求立即停產檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由.

解：設正常情況下，該生產線上包裝出來的白糖質量為，由題意可知．

(1)由于，所以根據正態(tài)分布的對稱性與“ 原則”可知

.

(2)檢測員的判斷是合理的. 因為如果生產線不出現異常的話，由（1）可知，隨機抽取兩包檢查，質量都小于的概率約為，

幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認為生產線出現異常，檢測員的判斷是合理的.

通過問題分析，讓學生掌握正態(tài)分布曲線的特點。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.下列函數是正態(tài)分布密度函數的是( )

A.f(x)=,μ,σ(σ>0)都是實數

B.f(x)=

C.f(x)=

D.f(x)=

解析:對照正態(tài)分布密度函數:f(x)=(x∈R),注意指數中的σ和系數的分母中的σ要一致,以及指數部分是一個負數.

答案:B

2.在某項測量中,測量結果ξ服從正態(tài)分布N(0,σ²).若ξ在(-∞,-1)內取值的概率為0.1,則ξ在(0,1)內取值的概率為( )

A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1

解析:∵ξ服從正態(tài)分布N(0,σ²),∴曲線的對稱軸是直線x=0.

∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.

∴ξ在區(qū)間(0,1)內取值的概率為0.5-0.1=0.4,故選B.

答案:B

3.某縣農民月均收入服從N(500,20²)的正態(tài)分布,則此縣農民月均收入在500元到520元間人數的百分比約為 .

解析:因為月收入服從正態(tài)分布N(500,20²),

所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.

所以月均收入在[480,520]范圍內的概率為0.683.

由圖像的對稱性可知,此縣農民月均收入在500到520元間人數的百分比約為34.15%.

答案:34.15%

4.某種零件的尺寸ξ(單位:cm)服從正態(tài)分布N(3,1²),則不屬于區(qū)間[1,5]這個尺寸范圍

的零件數約占總數的 .

解析:零件尺寸屬于區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ],

即零件尺寸在[1,5]內取值的概率約為95.4%,

故零件尺寸不屬于區(qū)間[1,5]內的概率為1-95.4%=4.6%.

答案:4.6%

5. 設在一次數學考試中,某班學生的分數X~N(110,20²),且知試卷滿分150分,這個班的學生共54人,求這個班在這次數學考試中及格(即90分及90分以上)的人數和130分以上的人數.

解:μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),

∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)

≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1,

∴P(X-μ<-σ)=0.158 5.

∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158 5=0.841 5.

∴540.841 5≈45(人),即及格人數約為45人.

∵P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-μ>σ),

∴P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈0.683+2P(X-μ>σ)=1,

∴P(X-μ>σ)=0.158 5,

即P(X>130)=0.158 5.

∴540.158 5≈9(人),

即130分以上的人數約為9人.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養(yǎng)。